“Te amo infinito”, le dije. “Te amo más”, respondió. Te pregunto a ti, ¿es posible? Aunque no lo creas, sí. En el siguiente artículo, explicaré la existencia de distintos infinitos (por más que suene imposible) y te daré tres consejos o tips de amor -con una piscaza de floro matemático osadía- que no fallan a la hora de conquistar a tu pareja en este intercambio amoroso de palabras.

Es real: existen infinitos más grandes que otros
¿Existe un número infinito de granos de arena en el desierto?

¿Qué es infinito? Seguramente lo asocias con algo sin fin, como el número de estrellas en el universo o el número de granitos de arena en la Tierra. Poniéndonos serios, te hago la siguiente pregunta: ¿cuántos números naturales existen? Pues bien, si recodamos nuestra primaria, el conjunto de números naturales está compuesto por: 1, 2, 3, … una lista que nunca acaba. Por lo tanto, me responderás que el número de elementos de este conjunto es interminable, en otras palabras, infinito. Pues es correcto: de hecho, este es el infinito más pequeño que existe, y se le conoce como Aleph 0 (). ¿Quién le puso ese nombre tan feo? Pues, fue Georg Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, base de las matemáticas modernas. Y sí, seguro lo sospechas: se dedicó a estudiar a los números transinfinitos a partir de la cardinalidad (es decir, el número de elementos) de distintos conjuntos.

Aleph 0 es el cardinal (es decir, el número de elementos) del conjunto de números naturales (1, 2, 3, …). Es el número transinfinito más pequeño que existe.

Y bueno, les presento a Aleph 0. Bonito, ¿no?
Sobre el amor infinito, ¡discusión matemática que a más de uno le ha pasado!

Teniendo en cuenta este infinito (Aleph 0), seguramente te has encontrado en la siguiente discusión extremadamente melosa con tu sólida pareja amorosa (?): él/ella te dijo “te amo infinito” y tú quieres mentirle responderle con algo más grande. Te pongo tres opciones de respuesta:

  1. Decides responder: “yo te amo más, te amo infinito + 1”.
  2. Decides responder: “yo te amo más, te amo infinitas veces infinito: infinito x infinito”.
  3. Decides responder: “yo te amo más, te amo infinito elevado a la infinito”.
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¿¿¿¿????

¿Cuál eliges? Pues bien, te cuento que si elegiste la opción 1 o la opción 2, METISTE LA PATA. En realidad, en ambos casos, se aman igual. ¿Por qué? Adelantando la explicación, te cuento: gracias a que existe biyección (correspondencia uno a uno) entre los conjuntos propuestos tanto en 1 como en 2, se concluye que la cardinalidad (# de elementos) de ambos conjuntos son iguales, e iguales a Aleph 0 (infinito).

Si quieres quedar como un campeón, respóndele como la opción 3. Debido a que Aleph 0 elevado a la Aleph 0, , es equivalente a 2 elevado a la Aleph 0, . Y, a este último número transinfinito, se le conoce como el cardinal (# de elementos) del conjunto de números reales, también conocido como el infinito “c” o infinito “continuo”. Además, está comprobado que el infinito “c” es mayor al infinito Aleph 0 (que, como definimos antes, es el cardinal del conjunto de números naturales).

¿QUÉ SIGNIFICA LO QUE ACABO DE DECIR RESPECTO A LAS OPCIONES 1, 2 Y 3? ¿EXISTEN INFINITOS MÁS GRANDES QUE OTROS? En seguida explicaré a qué me refiero con un ejemplo sencillo para cada caso:

Demostración que, bajo las alternativas 1 y 2, ambos se aman igual ☹

Les pregunto, ¿cuántos enteros no negativos hay? El conjunto estaría compuesto por los números 0, 1, 2, 3, … Como puedes ver, hay un elemento más en ese conjunto que en el de naturales, cuyo número de elementos está definido por Aleph 0 (1, 2, 3, …), es decir, el número 0. ¿Pero es realmente “infinito + 1” más grande que infinito?

En este hotel entran Aleph 0 individuos (?)

Imagina un hotel (?) con habitaciones infinitas numeradas como 1, 2, 3, … En nuestra nomenclatura, hay un total de Aleph 0 dormitorios. Luego, llega una carga infinita de personas en un autobús, así que también las enumeramos, es decir, un total de Aleph 0. Por esa razón, la recepcionista asigna los cuartos en orden, de modo que la persona 1 entra a la habitación 1; la persona 2 entra a la habitación 2; etc. Al final, todos obtienen un lugar donde dormir.

En este bus van Aleph 0 individuos (?)

Después, una persona más llega al hotel, la persona 0, y pregunta si tienen espacio. “No hay problema” dice la recepcionista. Llama por el sistema de megafonía solicitando que todos se trasladen a la habitación a su derecha. Entonces, la persona 1 se muda a la habitación 2, la persona 2 se muda a la habitación 3, etc. Ahora, la habitación 1 está disponible, por lo que la persona 0 paga su factura y se muda feliz como una lombriz (jeje).

La correspondencia entre el conjunto de personas (Aleph 0 personas del bus inicial y una persona más, la persona 0) y el conjunto de habitaciones (Aleph 0 habitaciones) es una visualización del argumento de biyección que comenté previamente:

Si se puede hacer una regla de correspondencia entre dos conjuntos, entonces se concluye que ambos tienen el mismo número de elementos (la misma cardinalidad), que en este caso es igual a Aleph 0.

Así, en términos cardinales (número de elementos), el ejemplo demuestra que Aleph 0 + 1 = Aleph 0.

Con ustedes, dos conjuntos finitos bijectivos.

En general, se cumple lo siguiente (la demostración se basa en la biyección de los conjuntos a comparar a la izquierda y derecha de las igualdades, lo que demuestra cardinalidades iguales… ¡si desean saber más pueden comentar el artículo!):

  • Aleph 0 + k = Aleph 0, donde k pertenece a los números naturales.
  • Aleph 0 + Aleph 0 = Aleph 0.
  • Aleph0 * k = Aleph 0, donde k pertenece a los números naturales.
  • Aleph 0 * Aleph 0 = Aleph 0.

Tip 1: Ya sabes, si te dicen que te aman “infinito”, no respondas con ninguna de las opciones explicadas en esta parte del artículo (1, 2). ¡Ojo! Si, por el contrario, te dicen que te aman “infinito+1”, usar este floro matemático puede generarle antipatía a tu pareja. ¡Controla tus ganas de explicarle que “infinito + 1” es igual a infinito!

Consejazos
Demostración que, bajo la alternativa 3, tú la/lo estarías amando más 😊

Como dije previamente, existe una equivalencia entre Aleph 0 elevado a la Aleph 0,, y 2 elevado a la Aleph 0, . De hecho, a partir de rigurosas demostraciones matemáticas complejas que no vienen al caso, se sabe que:

Donde, como vimos en las primera imágenes, el exponente de todos los números son justamente nuestro amigo Aleph 0. Por otro lado, a partir del Teorema de Cantor (el cual se explica al final del artículo por si estás interesado), se sabe que  se le conoce como “c” o “infinito continuo”, el cual es el cardinal (# de elementos) del conjunto de números reales. Asimismo, se sabe por este mismo teorema que “c” es mayor a Aleph 0: .

Otra forma de entender que el número de elementos del conjunto de números reales (conocido como “c”) es mayor al número de elementos del conjunto de números naturales (conocido como Aleph 0) se basa en que ambos no cumplen con la biyección (correspondencia uno a uno) que expliqué previamente. Intentemos probarlo. Primero armemos una lista del conjunto de los números reales hasta el infinito, y emparejemos cada número real listado con un número del conjunto de naturales hasta el infinito:

Ejemplo de emparejamiento no biyectivo

Lamentablemente, entre 0.1873 y 0.1874 existen infinitos números del conjunto reales que no fueron listados previamente y, por ende, no fueron emparejados con los números listados del conjunto naturales. Debido a ello es que justamente al infinito de números reales se le conoce como infinito “continuo”. Por más que quieras hacer una lista infinita de sus elementos para emparejarlos, siempre encontrarás infinitos elementos entre número y número que no estarán emparejados (no se cumple la biyección). Por ello, podemos concluir que hay más números reales que naturales. En otras palabras, “c” es mayor que Aleph 0.

En general, podemos concluir que:

  1. Existen “infinitos continuos” como “c” (# de elementos o cardinalidad del conjunto de números reales).
  2. Existen “infinitos contables” como Aleph 0 (# de elementos o cardinalidad del conjunto de números naturales).
  3.  “c” es mayor a Aleph 0 por (i) no cumplir con la biyección y (ii) por el teorema de Cantor (el segundo punto se explica en la siguiente sección… si te atreves a leerla).
  4. Por lo tanto, infinito elevado a infinito (que es igual que 2 a infinito, en otras palabras “c”) es más grande que infinito.

Tip 2: ¡Ya sabes! Si a la pregunta original hecha por tu pareja le respondes con la respuesta 3 utilizando esta explicación, tu sex appeal estará por las nubes y nadie podrá resistirse a tus encantos matemáticos. ¡Y si complementas tu respuesta con lo que viene, seguramente hasta tu amor platónico te dará bola!

Ofertón
Demostración que, bajo la alternativa 3, tú la/lo estarías amando más 😊 utilizando el Teorema de Cantor y la formulación de otros infinitos – ¡SOLO PARA VALIENTES!

Para esta demostración, utilizaremos el teorema de Cantor, el cual dice:

“El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad (# elementos) estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.”

Georg Cantor

¿Qué es un conjunto potencia? Es un conjunto de los elementos individuales del conjunto A y todas las posibilidades de subconjuntos armables con los elementos del conjunto A. Por ejemplo, si el conjunto A está definido como:

Entonces el conjunto potencia de A o P(A) tendrá los elementos:

En este caso, el cardinal del conjunto A es 3 (hay tres elementos), y el cardinal del conjunto potencia de A o P(A) es 8. Ese 8 se puede escribir como 2 elevado a la 3, lo que es igual a 2 elevado a la cardinalidad del conjunto A. Así, la relación entre los elementos de ambos conjuntos se refleja en la siguiente ecuación de cardinalidad:

Teniendo en cuenta esto, imaginemos que tenemos nuevamente al conjunto de los números naturales “N”. Aplicando el teorema de Cantor y la ecuación de cardinalidad, el conjunto potencia de “N” tendría más elementos que el conjunto “N”. Sabiendo que el número de elementos de “N” es igual a Aleph 0 (), entonces:

Adicionalmente, Cantor demostró que el número de elementos del conjunto potencia de los números naturales “N” es igual al número de elementos del conjunto de los números reales “R”. A partir de lo anterior, utilizando el Teorema de Cantor se deduce que el número de elementos del conjunto de los números reales es igual a 2 elevado a la Aleph 0, número mayor a Aleph 0:

Al número de elementos del conjunto de números reales se le conoce como “c” o “infinito continuo”, por lo que “c” es mayor a Aleph 0. Finalmente, como 2 elevado a la Aleph 0 es equivalente a Aleph 0 elevado a la Aleph 0 tal como se mencionó en la sección anterior, se concluye que infinito elevado a la infinito es mayor que infinito.

¿Aleph 0 y “c” son los únicos infinitos?

En realidad, no. De hecho, teóricamente, existen los números transinfinitos Aleph 0, Aleph 1, Aleph 2, y así sucesivamente:

Donde, por ejemplo, Aleph 1 es el número transinfinito más pequeño que le sigue en tamaño a Aleph 0. La misma relación se cumple entre Aleph 2 y Aleph 1.

A lo largo del artículo, hemos definido los siguientes números transinfinitos:

  • : cardinal del conjunto de números naturales.
  • “c”: cardinal del conjunto de números reales.

A partir de estas tres relaciones, surge la pregunta: ¿qué valor toma Aleph 1? Pues bien, la relación real es la siguiente:

Bajo el supuesto que se cumple la denominada hipótesis del continuo formulada por Cantor, se concluye que Aleph 1 es el cardinal del conjunto de números reales, en otras palabras, “c”:

Cantor no logró comprobar la hipótesis del continuo. De hecho, se cree que una de las razones por las cuales Cantor sufrió de depresión y problemas psiquiátricos al final de su vida fue el no poder validar dicha hipótesis. Esta encabeza la lista de la “lista de importantes preguntas abiertas” no respondidas desde 1900 y aún sin una respuesta concluyente. De ser cierta, se cumple la siguiente relación general (conocida como la hipótesis de Aleph de Cantor):

Si interpretamos la hipótesis de Aleph de Cantor, tenemos que:

  • Aleph 0: cardinal del conjunto de números naturales.
  • Aleph 1: cardinal del conjunto potencia del conjunto de números naturales. Se le conoce también como el cardinal del conjunto de números reales.
  • Aleph 2: cardinal del conjunto potencia del conjunto potencia de números naturales.
  • Etcétera.
La hipótesis de Aleph parece falsa, pero no la es (aunque tampoco verdadera)

Finalmente, si la hipótesis del continuo fuese falsa, entones los Aleph 1, Aleph 2, etc. podrían ser menores a las definiciones que he desarrollado en los bullets previos.

Tip 3: Ya sabes, si te dice que te ama “infinito elevado a infinito”, tú puedes responderle: “¿a qué Aleph haces referencia?” Y, sobre la base de su respuesta, tomas el siguiente Aleph más grande. ¡Con este último consejo será imposible que pierdas esta discusión!

Editado por: Claudia Barraza